Hamiltoniano del sistema – Minimal Models

Hamiltoniano del sistema – Minimal Models #

(7)#\[\begin{eqnarray} H(k) = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\gamma }{2}(e^{ik_xa}+e^{-ik_xa}-e^{ik_0a}-e^{-ik_0a})-\frac{t}{i}(e^{ik_za}-e^{-ik_za}) & -\frac{m}{2}(4-e^{ik_ya}-e^{-ik_ya}-e^{ik_za}-e^{-ik_za})+t_x(e^{ik_xa}+e^{-ik_xa}-e^{ik_0a}-e^{-ik_0a})+t(e^{ik_ya}-e^{-ik_ya})\\ -\frac{m}{2}(4-e^{ik_ya}-e^{-ik_ya}-e^{ik_za}-e^{-ik_za})+t_x(e^{ik_x}+e^{-ik_xa}-e^{ik_0a}-e^{-ik_0a})-t(e^{ik_ya}-e^{-ik_ya})& \frac{\gamma }{2}(e^{ik_xa}+e^{-ik_xa}-e^{ik_0a}-e^{-ik_0a})+\frac{t}{i}(e^{ik_za}-e^{-ik_za}) \end{array} \right] \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray*} H(k) = \left[ \begin{array}{cc} \gamma (cos(k_xa)-cos(k_0a))-2t(sin(k_za) ) & -m(2-cos(k_ya)-cos(k_za))+2t_x(cos(k_xa)-cos(k_0a))+2it(sin(k_ya))\\-m(2-cos(k_ya)-cos(k_za))+2t_x(cos(k_xa)- cos(k_0a))-2it(sin(k_ya))& \gamma (cos(k_xa) -cos(k_0a))+2t(sin(k_za)) \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

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ModuleNotFoundError                       Traceback (most recent call last)
Cell In[3], line 1
----> 1 from palettable.cubehelix import Cubehelix
      2 palette = Cubehelix.make(start=-0.5, rotation=0.3,reverse=True,n=10)

ModuleNotFoundError: No module named 'palettable'

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#Parámetros
a  = 1.0
k_0= pi/2
   
tx = 1   
t  = 1
m  = 2*t
γ  = 0

A_x= 0.0
A_y= +0.0
A_z= 0.0

##################----------------Inicia TB----------------##################
lat= [[a,0,0],[0,a,0],[0,0,a]]
orb= [[0,0,0],[1/2,1/2,1/2]] #H, solo los sitios A[000] B1/2[111]

WSH = tb_model(3,3,lat,orb)

#DIAGONAL
#γ*(cos(k_x)-cos(k_0))-2*t*sin(k_z)
# γ[coskx]
WSH.set_hop(γ/2, 0, 0,[1,0,0])#de que sitio a que sitio va el hoping, [la exp que lleva ese parametro], Conjugado ya no es 
# -2tsinkz                                #necesario, está implícito porque es Hermitiano.
WSH.set_hop(-t/1J, 0, 0,[0,0,1])

#Hermitiano [1,1]
WSH.set_hop(γ/2, 1, 1,[1,0,0])
WSH.set_hop(t/1J, 1, 1,[0,0,1])

WSH.set_onsite([-γ*cos(k_0)+A_z,-γ*cos(k_0)-A_z]) # No hay hooping, es energia

#FUERA DE LA DIAGONAL

# -[m*(2-cos(k_y)-cos(k_z))+2*tx*(cos(k_x)-cos(k_0))]+2J*t*sin(k_y)
#  2txcosk_0
WSH.set_hop(-2*m+2*(tx)*cos(k_0)+A_x, 0, 1,[0,0,0]) 
#mcosky+ 2itsin(ky)
WSH.set_hop(m/2+t, 0, 1,[0,1,0]) 
WSH.set_hop(m/2-t, 0, 1,[0,-1,0])
# mcoskz
WSH.set_hop(m/2, 0, 1,[0,0,1]) 
WSH.set_hop(m/2, 0, 1,[0,0,-1])
# tx(coskx)
WSH.set_hop(-tx+A_x, 0, 1,[1,0,0]) 
WSH.set_hop(-tx+A_x, 0, 1,[-1,0,0])


###############---------Inicia extraccion de información-----------##############
k=[[-0.5,0,0],[0,0,0.0],[0.5,0,0]] # Punto por los cuales que quiero que pase. Son los punto de al simetria
                                 #unidades en unidades de V de red 1=2pi/a
# k=[[0,-0.5,0],[0,0,0.0],[0.,0.5,0] ]
# k=[[0,0,-0.5],[0,0,0.0],[0.,0.,0.5]] 
    
k_label=[r"$-X$",r"$\Gamma$",r"$X$"]
(k_vec,k_dist,k_node)=WSH.k_path(k,1001,report=False)
Ek,ψ =WSH.solve_all(k_vec,eig_vectors=True)


#######################---Graficos----######################
 
fig,ax  = plt.subplots(ncols=2,nrows=1,figsize=(18,6),
                       gridspec_kw = {'wspace':0.4, 'hspace':0, 'width_ratios': [1, 1]})
ax[0].plot(k_dist,Ek[0,:],zorder=1,lw=1.5)
ax[0].plot(k_dist,Ek[1,:],zorder=1,lw=1.5)
ax[0].set_xticks(k_node) # puntos de alta simetria, valor que correspomde en k_path
ax[0].set_xticklabels(k_label )
ax[0].set_yticks([-4,-2,0.,2,4])
# xsticklabels(k_label) 

ax[0].spines['right'].set_visible(False)
ax[0].spines['top'].set_visible(False)
ax[0].set_ylabel(r"$E[t]$",fontsize=26)
ax[0].set_xlabel(r"$K_x$",fontsize=26)

k=[[-0.5,0,0],[0,0,0.0],[0.5,0,0]]# Punto por los cuales que quiero que pase. Son los punto de al simetria
                                 #unidades en unidades de V de red 1=2pi/a

(k_vec,k_dist,k_node)=WSH.k_path(k,1001,report=False)
Ek,U=WSH.solve_all(k_vec,eig_vectors=True)
ax[1].plot(k_dist,Ek[0,:],zorder=1,lw=1.5)
ax[1].plot(k_dist,Ek[1,:],zorder=1,lw=1.5)
 # puntos de alta simetria, valor que correspomde en k_path

ax[1].set_yticks([-0.2,0.,0.2])
ax[1].set_ylim([-0.2,0.2])
ax[1].set_xlim([0.1,0.9])
# xsticklabels(k_label) 

ax[1].spines['right'].set_visible(False)
ax[1].spines['top'].set_visible(False)
ax[1].set_ylabel(r"$E[t]$",fontsize=26)
ax[1].set_xlabel(r"$K_x$",fontsize=26)

savefig("WSMMMBulkGapTI.pdf",bbox_inches='tight')

_images/bbb23810e51d177549a487a26d2af1c10f06d1e1a65ff06006e2e066e673cc64.png

Exploración de la estructura de bandas en distintos planos del material#

_images/7cb0c40cc216214592ac44fc6731306b06f4fc6f693e3a41bd59c9887116c0ec.png

A diferencia de los hamiltonianos anteriores, en la estructura de bandas de este se pude observar una line aque une a los dos nodos de Weyl. Dicha línea recibe el nombre de Arco de Fermi.

Exploración de la estructura de bandas en el material finito en X#

Text(0.5, 0, 'Finite system in $X|_{k_x=0.5}$')

_images/de0cd9a8a8f2678bac983f69849d4391485938fdea4404027874734889907f5f.png

Como se puede denotar en la figura anterior, la variación de \(k_z\) sila como evolucuiona la relacion de dispersion a lo alrgo de la primera mitad de la zona de Brillouin.

_images/e46c96eefe89e861f817649f27934e79edbbe7c6c49a480b9c0eb8a74ff09c43.png

Exploración de la estructura de bandas en el material finito en Y#

_images/87e70555dbebb2aac1191c1ba61f7d1ceaaf6cef26211d3f8dc1e6c27cf274ea.png

Se denota cómo los arcos de Fermi van evolucionando conforme se avanza en la zona de Brillouin. Si este avabce se hiciera continuo se formarian dos planos interceptados extactamente en el arco de Fermi. Dichos planos corresponderian a la superficie de Fermi.

Como se puede denotar en la figura anterior, la variación de \(k_z\) sila como evolucuiona la relacion de dispersion a lo alrgo de la primera mitad de la zona de Brillouin.

Exploración de la estructura de bandas en el material finito en Z#

Text(0.5, 0, 'Finite system in $Z|_{k_x=0.5}$')

_images/46fdfa2dd64dc351ffe3755326254561a154c50c8ee7aaf6ac14da3d9456f9db.png

_images/7c8041071074381413dc44dcfd0de790b69185724155bd8abdfdce821e0d451f.png

Density of States fo WSM-TI- Histogram#

Una herramienta util para explorar las propiedadfes electroncias de un material es la densidad de estados (DOS). Dicha heramienta nos permitira elucidar la cantidad de estados que hay en los arcos de Fermi en proporción con los que hay en el bulto del material.

For a infinite system#

For a finite system#

Comparing DOS for a finite system vs a infinite system#

Plotting DOS...
CPU times: user 2 µs, sys: 0 ns, total: 2 µs
Wall time: 4.53 µs

_images/5b0ec132309d308a37c0e652049530d327a7bccda7263b904abd1ee4c2ff6852.png

_images/2b6aee901869e4851ddfca4e4d33b388bfb5c9d645779a6a19dddf9312508173.png

Se puede denotar cómo los arcos de Fermi sólo aparecen cuando el sistema tiene bordes, es decir, cuando se rompe la simetría de traslación.

Densidad de estados usando Funciones de Green.#

La función de Green es uan herramienta matematica que nos permite obtener la DOS de un hamiltoniano independiente del tiempo. A diferencia de los histogramas, tiene la ventaja de que genera curvas suaves.

Plotting DOS...
CPU times: user 2 µs, sys: 0 ns, total: 2 µs
Wall time: 4.53 µs

_images/f8a05bbe84e8b10f3dfb610935dd2622a72d4c0323dd1adca85aa71249ea35f3.png

Se puede denotar cómo los arcos de Fermi sólo aparecen cuando el sistema tiene bordes, es decir, cuando se rompe la simetría de traslación.

Densidad de esatdos acomplada con la estructura de bandas#

_images/f4b47d49964a7a63ecb9446219705a2e20d8939c5c0bf33ab6ec1b95875fef99.png

En la figura anterior se puede notar cómo los arcos de Fermi aparecen en una \(E[t]=0\).

0.9991432821048173

La celda anterior comprueba que la densidad de estados dada por la función de Green está normalizada.

IPR#

El IPR o Inverse Participation Ratio (IPR, por sus siglas en inglés) es una cantidad que perimte saber qué tan lo laizados están los estados electronicos en un material. En esta sección se presenta un grafico coloreado con el Log|IPR|, de manera que los colores más obsucuros elucidarán qué estados son los más localizados.

building finite sistems

Extracting eigenvectors and eigenvalues

Calculating IPR

_images/9377552b9cd6233b539ec48dea1863487321b1f9b749301a87586013a75d79d4.png

Interactivo#

from ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual
import ipywidgets as widgets